从“1”在数学中的应用谈数学思维能力

[关键词]
数学思维能力  思维定势 数学逻辑思维  数学形象思维  数学直觉思维

2004年是高中数学新一轮课程改革全面实施的一年。新的课程标准提出，数学教学应从学生的实际出发，创设有利于学生自主学习的问题情景，引导学生通过实践，思考，探索，交流，获取知识，形成技能，发展思维，学会学习。在今年的高考考纲也提出数学科的考试不仅要考查基础知识，还要注重考查学生的能力，加强素质的考查，融知识、能力与素质于一体，全面检测考生的教学素养。这就要求学生不仅会做题，而且还要会从平时的生活实际中主动抽象出数学模型，并对之进行求解，进行数学探究。而学生对数学探究通常存在恐惧心理，以为数学探究是深不可测的事情，或者只是数学学者所做的事情，与自己无关。造成这种情况的原因，主要是由于在以往的数学教学过程中，对学生数学思维能力的培养重视得不够，让数学变成了纯数学，纯理论，脱离了学生的生活实际，使得学生对数学的认识只停留在做数学题目，应付数学考试上。其实学生只要具有想问题、问问题、挖问题和延伸问题的习惯，都能够进行数学探究，具备数学思维能力。本文主要借助对从幼儿数数开始，就一直接触到的数字“1”，在具体的题目中的灵活运用进行数学探究，来引发学生对数学探究的好奇心，达到培养学生数学思维能力的目的。通过对“1”的数学内容做具体的辨证分析，能够提高学生的数学思维能力，并有利于对学生进行辨证唯物主义思想的教育。让学生体会到自己其实也可以进行数学探究。在强调培养数学思维能力的同时，本文也意在让学生意识到自己有权力和能力提出新见解、发现新问题，帮助学生克服迷信和盲从，树立起科学的思想和方法，具备数学思维能力。

一．从“1”在数学中的应用来谈数学思维的定义，分类及综合运用

本文所探讨的“1”在数学中的灵活运用，是研究的“纯粹的量”，引申出来，各种纯数学，如几何，代数，数学分析等，所研究的对象都是“纯粹的量”。数学思维则是指数学对象“纯粹的量”的本质和数学对象之间“纯粹的量”的规律性的关系在人的头脑中的反映。从字面上来看数学思维显然首先是思维，所以它肯定具有思维的一般特征，但是，它又有自己的特点，它不是事物一般的本质和事物之间一般的规律性的关系在人们头脑中的反映，而是以“纯粹的量”的形式来反映事物的本质和事物之间的规律性的关系。它是从人类的一般思维中分化出来的一种科学思维。从思维活动总体规律的角度考虑，数学思维通常分为数学逻辑思维，数学形象思维，以及数学直觉思维。这三者是互相联系，密不可分的。逻辑思维是以概念为思维基础，以语言为思维载体，每前进一步，都要有充分的根据，它以抽象性为主要特征，其基本形式是概念，判断和推理，它是数学思维的核心；形象思维是根据形象材料的意识领会得到理解的思维，它的主要特征是思维材料的形象性，基本形式是表象，直感和想象，它是数学思维的先导，具体的数学思维过程往往是这两种思维交错运用的综合过程。而直觉思维是以高度省略，简化的方式来发现问题实质的思维，它的主要特征是能在很短的时间内迅速并且准确的解决问题，其基本形式是直觉与灵感，它则是数学思维发展到一定水平后，由前两种思维结合达到质变时的形态。解题中的运算能力，是逻辑思维能力与运算技能的结合，实质上是逻辑思维能力的一部分，解题中的空间想象能力，则是形象思维能力与空间形式构思的结合，实质上形象思维的一部分。如果学生的逻辑思维能力和形象思维能力都得到了提高，那么，直觉思维的发展，也是自然的事了。

上题的解法，这就是数形结合的方法，它吸取了形象思维和逻辑思维的长处，使整个解题过程简捷明了了，也是三种数学思维巧妙综合运用的典型例题。设边长为“1”，不失为简单又有效的办法，也是数学直觉思维的结果。由于考虑到已经设边长是1，因此对45这个角度值，我们取正切，而不是其他的弦切值，避免引入过多的数值，又把问题复杂化，这里则是数学逻辑思维的运用，对为什么要取 的正切值，而不是其他值要有充分的依据才能够进行，并不是盲目的做假设。从上题还可以得出一个一般性的结论，在解决几何问题过程中，遇到正方形，立方体，正四面体等等，边长相等的情况，我们都可以不妨设它的边长或棱长为1，从而使计算或证明过程简化。

二．从“1”在数学中的应用来谈数学思维能力的培养

如何在数学教学过程中培养学生的数学思维能力？数学思维能力的三个分类要求不但要培养学生的数学逻辑思维，还要培养学生的数学形象思维，以次来达到形成数学直觉思维的目的。这需要教师和学生共同作用。教师在教学活动中处于主导地位，这就要求教师自身要具备较高的数学思维能力，这样才能够起到主导启发学生数学思维的作用。教师在教学过程中不能过分强调程式化和模式化，不能把教科书上的答案，教师指导用书上的答案强加给学生，不让这些所谓“标准答案”限制学生的思维，不能强迫学生按照自己的思路走，进行填鸭式教育。灌输式的教学会使学生的思维缺乏应变能力。教师应该要鼓励学生自己去探索，鼓励学生大胆的猜测。为了培养学生的数学思维能力，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。而学生也不应该只满足于一个问题只有一种解法，应该在教师的启发下，从不同的角度理解问题，用